ALCUNE LEZIONI DI MATEMATICA DEL QUINTO SUPERIORE

video IN LAVORAZIONE con la spiegazione di qualche lezione e con alcuni esercizi

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

Il quinto anno è dedicato all'analisi matematica (chiamato anche calcolo infinitesimale) che risolve i problemi di:

ricerca delle soluzioni ottimali

ricerca della retta tangente

calcolo di superfici e contorni curvi

Alla base c'è la definizione di numero reale e di funzione:

Ricordiamo che i numeri reali Rsono l'unione dei numeri razionali (interi, interi relativi e frazioni) e irrazionali (i numeri illimitati aperiodici come π e le radici).

L'insieme dei numeri reali è completo, può infatti rappresentare un segmento qualsiasi.

APPROFONDIMENTI SUGLI INSIEMI DI NUMERI REALI

Noi indichiamo alcuni sottoinsiemi di R con le parentesi , con la notazione algebrica o con la rappresentazione grafica .

Un sottoinsieme NON vuoto di R può avere tutti gli elementi minori di un numero M, che chiamiamo maggiorante e l'insieme si dirà limitato superiormente

Il più piccolo dei maggioranti si chiama estremo superiore, e se appartiene all'insieme massimo.

In modo analogo definiamo i minoranti, l'estremo inferiore, il minimo e l'insieme si dirà limitato inferiormente

FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE

Si chiama funzione f da un insieme A (dominio) a un insieme B (codominio) una relazione che lega ad ogni elemento di A, uno e uno solo elemento di B.

Se A e B sono sottoinsiemi di R non vuoti, si parla di funzione reale di variabile reale.

Dato un numero reale x appartenente ad A e y appartenente ad B, chiameremo y immagine e x controimmagine e scriveremo y = f (x) detta forma esplicita oppure f (x ; y) = 0 , chiamata forma implicita.
Tutte le immagini y compongono l'insieme immagine.
In una funzione x è la variabile indipendente e y variabile dipendente.

Nelle funzioni molto interessante è la rappresentazione sul piano cartesiano.
Nel video si trovano alcuni grafici (retta, seno, funzione definita a tratti).

Si osservi che un grafico di una funzione, muovendosi nel dominio da sinistra a destra, lascia sempre un segno e non torna mai indietro.

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI

Le funzioni si classificano in:

algebriche, quando la x ha solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione elevamento a potenza e radice. A loro volta distinte in:

razionali intere dette anche polinomiali
razionali fratte
irrazionali

trascendenti

Le funzioni trascendenti si classificano in:

logaritmiche

esponenziali

goniometriche

FUNZIONI UGUALI

Due funzioni y = f (x) e y = g (x) si dicono uguali se:

hanno lo stesso dominio

per ogni x f (x) = g (x)

ZERI E SEGNO DI UNA FUNZIONE

Dopo aver trovato il dominio di una funzione y =f (x) , cerchiamo gli zeri, ovvero dove la funzione incontra gli assi cartesiani, risolvendo le due equazioni:

f (x) = 0 e trovo le intersezioni con l'asse delle ascisse

y = f (0) e trovo le intersezioni con l'asse delle ordinate

Studiamo poi il segno della funzione al variare di x.

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DI GRAFICI E GRAFICI PARTICOLARI DI FUNZIONI

TRASLAZIONE DI UN GRAFICO

Un grafico di una funzione si può scrivere come \(y=f(x)\)

Volendolo spostare verso DESTRA di x₀, basta sostituire alla x il termine \(x-x_0\)

Volendolo spostare verso l'ALTO di y₀, basta sostituire alla y il termine \(y-y_0\)

Volendolo spostare di entrambi, l'equazione diventa \(y-y_0=f(x-x_0)\)

SIMMETRIE

Data una funzione y = f (x) la funzione:

\(y = - f(x)\) è simmetrica rispetto all'asse x

\(y =f(-x)\) è simmetrica rispetto all'asse y

\(y = - f(-x)\) è simmetrica rispetto all'origine

DILATAZIONI E CONTRAZIONI

Data una funzione y = f (x) la funzione \({y = n·f(\dfrac{x}{m})}\) con n,m > 0
Si DILATA:

verticalmente con n>1

orizzontalmente con m>1

Si CONTRAE:

verticalmente con n<1

orizzontalmente con m<1

PROPRIETA' DELLE FUNZIONI

FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE, BIUNIVOCHE

Una funzione y = f (x) è:

iniettiva quando a x diverse corrispondono y diverse.

suriettivaquando ogni y ha una x da cui deriva.

biunivoca quando è iniettiva e suriettiva

FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTONE

Una funzione y = f (x) è:

strettamente crescente quando la y aumenta andando verso destra nel grafico.
In formule: x₂ > x₁ ⇒ f (x₂) > f (x₁)

crescente quando la y aumenta o è costante andando verso destra nel grafico.
In formule: x₂ > x₁ ⇒ f (x₂) ≥ f (x₁)

In modo analogo definiamo strettamente decrescente quando x₂ > x₁ ⇒ f (x₂) < f (x₁) e decrescente quando x₂ > x₁ ⇒ f (x₂) ≤ f (x₁) ( ovvero quando la y decresce)
Infine parliamo di funzioni monotòne quando non specifichiamo se crescenti o decrescenti.
Le funzioni strettamente monotòne in un dato dominio, sono biunivoche.

FUNZIONI PERIODICHE

Una funzione che ha il grafico che si ripete si dice periodica. In formule scriviamo:

f (x) = f (x+ kT)

Con T (> 0) chiamato periodo e k è un intero relativo.

Esempi sono le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente.

FUNZIONI PARI E DISPARI

Una funzione si dice pari quando f (x) = f (-x) ed è simmetrica rispetto all'asse y

Una funzione si dice dispari quando f (x) = - f (-x) ed è simmetrica rispetto all'origine

Riconoscere funzioni periodiche oppure pari o dispari semplifica molto lo studio e il tracciamento dei grafici (perché riducono il dominio da studiare).

GRAFICI DI ALCUNE FUNZIONI

Nel video riportiamo i grafici delle seguenti funzioni:

retta y = mx + q con m = pendenza e con q = ordinata all'origine

parabola

esponenziale

logaritmica

goniometriche

FUNZIONE INVERSA

Una funzione biunivoca si dice invertibile perchè esplicitando la variabile x otteniamo una nuova funzione detta funzione inversa: x = f^{- 1} (y)

Se la funzione y = f (x) non è biunivoca, possiamo fare lo stesso la funzione inversa facendo la restrizione del dominio ad un sottoinsieme in cui la funzione è biunivoca.

I grafici della funzione e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

FUNZIONE COMPOSTA

Date due funzioni g e f chiamiamo funzione composta la funzione y = g (f (x))

Dove l'immagine di f diventa un elemento del dominio di g.

Si osservi che non vale la proprietà commutativa, cioè: g ( f(x)) ≠ f ( g (x))

LIMITI

INTORNO DI UN PUNTO ED INTERVALLI

INTORNO DI UN PUNTO

Per capire l'intorno di un punto si può immaginare una sfera con al centro una stella.
Tutti i punti interni alla sfera sono l'intorno.
Proiettato su una retta, parliamo di intorno circolare di un punto x₀ quando abbiamo un intervallo aperto con al centro il punto stesso e di raggio δ (che può essere piccolissimo); in formule:

I_δ (x₀) = ] x₀ - δ ; x₀ + δ [

Diremo che l'intorno è un punto di accumulazione se, per ogni δ, abbiamo dei punti che appartengono all'intorno.
Altrimenti è un punto isolato.

CASI DI INTORNO

I casi particolari di intorno su una retta sono:

Introrno sinistro I_δ^- (x₀) = ] x₀ - δ ; x₀ [

Introrno destro I_δ^- (x₀) = ] x₀ ; x₀ + δ [

Introrno di meno infinito I (- ∞) = ] - ∞; x₀ [

Introrno di più infinito I (+ ∞) = ] x₀; + ∞ [

PUNTI DI ACCUMULAZIONE

Un punto si dice di accumulazione per un insieme quando in ogni suo intorno (che si può prendere piccolo a piacere) c'è sempre un punto.

Ciò significa anche che in ogni intorno ci sono infiniti punti.

Si osservi che non è necessario che il punto appartenga all'insieme.

Se ci sono intorni senza punti, il punto si dice isolato.

LIMITE DI UNA FUNZIONE

LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE QUANDO x TENDE A x₀

Data una funzione y = f (x) e un punto x₀ , parliamo di limite l quando, preso un intorno piccolo a piacere di x₀ , corrispondono delle y estremamente vicine a l.

Per determinare il possibile valore del limite, possiamo assegnare alla f (x) dei valori di x prossimi a x₀, e vedere se tendono ad un valore finito

VERIFICA DI UN LIMITE FINITO QUANDO x TENDE A x₀

Nella verifica di un limite non possiamo limitarci a vedere come si comporta la funzione calcolandola con qualche valore dell'intorno di x₀, ma dobbiamo basarci su un intorno circolare del limite, piccolo a piacere, e un vedere se esiste un corrispondente intorno di x₀ per cui le x , danno valori della funzione tali che \(\left| f(x) - l\right| < ε \) In formule:

\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = l \) \( \iff\) \(\forall ε > 0 \quad ∃ \, I(x_0) \, : \, \left| f(x) - l\right| < ε \quad \forall x \in I(x_0),\; x \neq x_0 \)

LIMITE IN UN PUNTO E COMPORTAMENTO DELLA FUNZIONE

Parlando di limite di una funzione, abbiamo detto che, nell'intorno di x₀, la funzione deve avere un valore che tende al limite l. Ma cosa succede alla funzione in x₀? Ci possono essere 3 casi: