ALCUNE LEZIONI DI MATEMATICA DEL QUINTO SUPERIORE

video IN LAVORAZIONE con la spiegazione di qualche lezione e con alcuni esercizi



FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

Il quinto anno è dedicato all'analisi matematica (chiamato anche calcolo infinitesimale) che risolve i problemi di:

  • ricerca delle soluzioni ottimali
  • ricerca della retta tangente
  • calcolo di superfici e contorni curvi


    • Alla base c'è la definizione di numero reale e di funzione:

    Ricordiamo che i numeri reali Rsono l'unione dei numeri razionali (interi, interi relativi e frazioni) e irrazionali (i numeri illimitati aperiodici come π e le radici).

    L'insieme dei numeri reali è completo, può infatti rappresentare un segmento qualsiasi.

    APPROFONDIMENTI SUGLI INSIEMI DI NUMERI REALI

    Noi indichiamo alcuni sottoinsiemi di R con le parentesi , con la notazione algebrica o con la rappresentazione grafica .

    Un sottoinsieme NON vuoto di R può avere tutti gli elementi minori di un numero M, che chiamiamo maggiorante e l'insieme si dirà limitato superiormente

    Il più piccolo dei maggioranti si chiama estremo superiore, e se appartiene all'insieme massimo.

    In modo analogo definiamo i minoranti, l'estremo inferiore, il minimo e l'insieme si dirà limitato inferiormente

    FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE

    Si chiama funzione  f da un insieme A (dominio) a un insieme B (codominio) una relazione che lega ad ogni elemento di A, uno e uno solo elemento di B.

    Se A e B sono sottoinsiemi di R non vuoti, si parla di funzione reale di variabile reale.

    Dato un numero reale x appartenente ad A e y appartenente ad B, chiameremo y immagine e x controimmagine e scriveremo y = f (x) detta forma esplicita oppure f (x ; y) = 0 , chiamata forma implicita.
    Tutte le immagini y compongono l'insieme immagine.
    In una funzione x è la variabile indipendente e y variabile dipendente.

    Nelle funzioni molto interessante è la rappresentazione sul piano cartesiano.
    Nel video si trovano alcuni grafici (retta, seno, funzione definita a tratti).

    Si osservi che un grafico di una funzione, muovendosi nel dominio da sinistra a destra, lascia sempre un segno e non torna mai indietro.


    CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI

    Le funzioni si classificano in:

  • algebriche, quando la x ha solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione elevamento a potenza e radice. A loro volta distinte in:
  • trascendenti

    • Le funzioni trascendenti si classificano in:

  • logaritmiche
  • esponenziali
  • goniometriche


    • FUNZIONI UGUALI

    Due funzioni    y = f (x)    e    y = g (x)    si dicono uguali se:

  • hanno lo stesso dominio
  • per ogni x    f (x) = g (x)




    • ZERI E SEGNO DI UNA FUNZIONE

    Dopo aver trovato il dominio di una funzione y =f (x) , cerchiamo gli zeri, ovvero dove la funzione incontra gli assi cartesiani, risolvendo le due equazioni:

  • f (x) = 0    e trovo le intersezioni con l'asse delle ascisse
  • y = f (0)    e trovo le intersezioni con l'asse delle ordinate

    • Studiamo poi il segno della funzione al variare di x.

    TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DI GRAFICI E GRAFICI PARTICOLARI DI FUNZIONI

    TRASLAZIONE DI UN GRAFICO

    Un grafico di una funzione si può scrivere come \(y=f(x)\)

  • Volendolo spostare verso DESTRA di   x0, basta sostituire alla   x   il termine    \(x-x_0\)
  • Volendolo spostare verso  l'ALTO di     y0, basta sostituire alla   y   il termine    \(y-y_0\)
  • Volendolo spostare di entrambi, l'equazione diventa     \(y-y_0=f(x-x_0)\)

    • SIMMETRIE

    Data una funzione y = f (x)    la funzione:

  • \(y = - f(x)\)    è simmetrica rispetto all'asse x
  • \(y =f(-x)\)    è simmetrica rispetto all'asse y
  • \(y = - f(-x)\)    è simmetrica rispetto all'origine


    • DILATAZIONI E CONTRAZIONI

    Data una funzione y = f (x)    la funzione    \({y = n·f(\dfrac{x}{m})}\)    con    n,m > 0
    Si DILATA:

  • verticalmente     con n>1
  • orizzontalmente con m>1
    • Si CONTRAE:
  • verticalmente     con n<1
  • orizzontalmente con m<1


    • PROPRIETA' DELLE FUNZIONI

    FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE, BIUNIVOCHE

    Una funzione y = f (x)    è:

  • iniettiva quando a x diverse corrispondono y diverse.
  • suriettivaquando ogni y ha una x da cui deriva.
  • biunivoca quando è iniettiva e suriettiva



    • FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTONE

    Una funzione y = f (x)    è:

  • strettamente crescente quando la y aumenta andando verso destra nel grafico.
    In formule: x2 > x1    ⇒    f (x2) > f (x1)
  • crescente quando la y aumenta o è costante andando verso destra nel grafico.
    In formule: x2 > x1    ⇒    f (x2) ≥ f (x1)

    • In modo analogo definiamo strettamente decrescente quando x2 > x1    ⇒    f (x2) < f (x1)    e decrescente quando x2 > x1    ⇒    f (x2) ≤ f (x1)    ( ovvero quando la y decresce)
    Infine parliamo di funzioni monotòne quando non specifichiamo se crescenti o decrescenti.
    Le funzioni strettamente monotòne in un dato dominio, sono biunivoche.

    FUNZIONI PERIODICHE

    Una funzione che ha il grafico che si ripete si dice periodica. In formule scriviamo:

    f (x) = f (x+ kT)

    Con T (> 0) chiamato periodo    e    k è un intero relativo.

    Esempi sono le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente.

    FUNZIONI PARI E DISPARI

    Una funzione si dice pari quando    f (x) = f (-x)    ed è simmetrica rispetto all'asse y

    Una funzione si dice dispari quando    f (x) = - f (-x)    ed è simmetrica rispetto all'origine

    Riconoscere funzioni periodiche oppure pari o dispari semplifica molto lo studio e il tracciamento dei grafici (perché riducono il dominio da studiare).

    GRAFICI DI ALCUNE FUNZIONI

    Nel video riportiamo i grafici delle seguenti funzioni:

  • retta y = mx + q    con m = pendenza e con q = ordinata all'origine
  • parabola
  • esponenziale
  • logaritmica
  • goniometriche

    • FUNZIONE INVERSA

    Una funzione biunivoca si dice invertibile perchè esplicitando la variabile x otteniamo una nuova funzione detta funzione inversa:    x = f  - 1 (y)

    Se la funzione y = f (x) non è biunivoca, possiamo fare lo stesso la funzione inversa facendo la restrizione del dominio ad un sottoinsieme in cui la funzione è biunivoca.

    I grafici della funzione e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

    FUNZIONE COMPOSTA

    Date due funzioni g e f    chiamiamo funzione composta la funzione    y = g (f (x))

    Dove l'immagine di f  diventa un elemento del dominio di g.

    Si osservi che non vale la proprietà commutativa, cioè: g ( f(x)) ≠ f ( g (x))



    LIMITI


    INTORNO DI UN PUNTO

    Per capire l'intorno di un punto si può immaginare una sfera con al centro una stella.
    Tutti i punti interni alla sfera sono l'intorno.
    Proiettato su una retta, parliamo di intorno circolare di un punto x0 quando abbiamo un intervallo aperto con al centro il punto stesso e di raggio δ (che può essere piccolissimo); in formule:

    Iδ (x0) = ] x0 - δ ; x0 + δ [

    Diremo che l'intorno è un punto di accumulazione se, per ogni δ, abbiamo dei punti che appartengono all'intorno.
    Altrimenti è un punto isolato.

    CASI DI INTORNO

    I casi particolari di intorno su una retta sono:

  • Introrno sinistro    Iδ- (x0) = ] x0 - δ ; x0 [
  • Introrno destro    Iδ- (x0) = ] x0 ; x0 + δ [
  • Introrno di meno infinito    I (- ∞) = ] - ∞; x0 [
  • Introrno di più infinito    I (+ ∞) = ] x0; + ∞ [



    • PUNTI DI ACCUMULAZIONE